Sistem Fungsi Iterasi dan Dimensi Fraktal Pada Himpunan Serupa Diri

  • Sri Wahyuningsih Universitas Muhammadiyah Ponorogo
  • Julan Hernadi Universitas Muhammadiyah Ponorogo
Keywords: Sistem Fungsi Iterasi, Fraktal, Dimensi Fraktal, Himpunan Serupa-Diri

Abstract

Fraktal merupakan bentuk geometri yang dihasilkan dengan memulai sebuah pola yang sangat sederhana. Beberapa sifat dari fraktal diantaranya yaitu pengulangan, penskalaan, dan keserupaan diri. Ada beberapa cara untuk mengkonstruksi bangun fraktal, salah satunya adalah dengan menggunakan sistem fungsi iterasi (SFI). Penelitian ini bertujuan untuk: (1) menjelaskan sistem fungsi iterasi, (2) mengetahui cara mengkonstruksi fraktal, dan (3) menghitung dimensi fraktal melalui sistem fungsi iterasi. Penelitian ini merupakan penelitian deskriptif kualitatif dengan bentuk studi pustaka dimana sumber informasi diperoleh dari buku, jurnal ilmiah, dan bahan pustaka lainnya yang berkaitan dengan sistem fungsi iterasi, dimensi fraktal, dan himpunan-himpunan serupa-diri. Referensi utama dari penelitian ini adalah buku Fraktal Geometry Mathematical Foundations and Applications karangan Kenneth Falconer (2003). Penelitian ini dilakukan dengan mengkaji dan menganalisis secara mendalam materi penelitian dari referesi yang digunakan, kemudian menyusun seluruh materi tersebut secara runtut agar memudahkan pembaca dalam memahaminya. Hasil dari penelitian ini menjelaskan bahwa sistem fungsi iterasi merupakan koleksi pemetaan kontraksi berhingga {S1, S2, ..., Sm} dengan m.=2. Cara mengkonstruksi fraktal dengan sistem fungsi iterasi yaitu dengan menemukan atraktornya, maka atraktor itulah yang merupakan bentuk fraktal. Untuk menghitung dimensi fraktal adalah dengan mencari skala/ faktor kontraksi c dari pemetaanya, kemudian dimensi fraktal adalah s, yaitu s yang memenuhi persamaan  ∑mi=1 (ci)s =1.

[Fractals is the geometric shapes which are produced by starting a very simple pattern. Some of the properties of fractals are repetition, scaling, and self similarity. There were several ways to construct fractal structures, one of them is through the use of iterated function system. This research aims are to: (1) explain the iterated function systems, (2) knowing how to construct and finding the dimensions of fractal objects used iterated function systems. This research was a qualitive descritive with a literature study where the source of information obtained from text books, scientific journals, and other library materials which related to the iterated function systems, fractal dimension, and self-similar sets.  The main reference of this research was from the book of Fractal Geometry Mathematical Foundations and Applications by Kenneth Falconer (2003). This research conducted by reviewed and analyzed in deep the materials of research from the references, then prepare all the materials in coherence to facilitate the reader in understanding it. The result of this research were to explain that the iterated function system is a finite family of contractions {S1, S2, ..., Sm} with m.=2. The way to construct a fractal with an iterated function system is to find the attractor, then the attractor was a fractal. To calculate the fractal dimension we have to find the scale or contraction factor  from the mapping, then the fractal dimension is equal to the value of s that was satisfying ∑mi=1 (ci)s =1..]

Downloads

Download data is not yet available.

Author Biographies

Sri Wahyuningsih, Universitas Muhammadiyah Ponorogo

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Julan Hernadi, Universitas Muhammadiyah Ponorogo

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

References

[1] Barnsley, M.F. 1988. Fraktals Everywhere. London: Academic Press.
[2] Bovill, Carl. 2000. Fraktal Geometry as Design Aid. Journal for Geometry and Graphics, Vol. 2, No. 1, pp. 71-78.
[3] Falconer, K. 2003. Fraktal Geometry Mathematical Foundations and Applications. England: John Wiley.
[4] Frantz, Marc & Annalisa, C. 2011. Viewpoints: Mathematical Perspective and Fraktal Geometry in Art. New Jersey: Princeton University Press.
[5] Hernadi, Julan. 2015. Analisis Real Elementer dengan Ilustrasi Grafis & Numeris. Jakarta: Erlangga.
[6] Lertchoosakul, Poj. 2012. Introduction to Hausdorff Measure and Dimension. Dalam: Dynamics Learning Seminar di Liverpool, 28 September.
[7] Mandelbrot, Benoit B. (1983). The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman and Company.
[8] Muslikh, Mohamad. 2013. Ukuran dan Integral Lebesgue. Malang: UB Press.
[9] Pant, Vyomesh & Poonam, P. 2013. Fraktal Geometry: An Introduction. Journal of Indian Research, Vol. 1, No. 2, pp. 66-70.
[10] Pearse, Erin. An Introduction to Dimension Theory and Fraktal Geometry: Fraktal Dimensions and Measures.
[11] Shirali, Satish & Vasudeva, H.L. 2006. Metric Space. United States of Amerika: Springer Science + Business Media.
[12] Yohanes, D. 2014. Dimensi Hausdorff dari Beberapa Bangun Fraktal. Skripsi. Tidak diterbitkan. Fakultas Sains dan Teknologi. Universitas Sanata Dharma: Yogyakarta.
Published
2020-10-31
Section
Articles